Решите уравнение cos2x + cos3x = 0 (тригонометрия, 10 класс)

Чтобы решить уравнение $\cos(2x) + \cos(3x) = 0$, применим тригонометрические тождества для преобразования выражений.

1. Используем формулу для суммы косинусов:

Существует формула для суммы двух косинусов:

Подставим $A = 2x$ и $B = 3x$ в эту формулу:

2. Упрощаем выражение:

Теперь у нас уравнение выглядит так:

3. Решаем полученное уравнение:

Умножение двух выражений на 0 означает, что хотя бы одно из них должно быть равно 0. То есть, у нас два возможных случая:

• $\cos\left( \frac{5x}{2} \right) = 0$

• $\cos\left( \frac{x}{2} \right) = 0$

4. Рассмотрим первый случай: $\cos\left( \frac{5x}{2} \right) = 0$

Косинус равен 0, когда аргумент выражения равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число. То есть:

Умножим обе части уравнения на 2:

Разделим обе части на 5:

Это решение для $x$.

5. Рассмотрим второй случай: $\cos\left( \frac{x}{2} \right) = 0$

Косинус равен 0, когда аргумент выражения равен $\frac{\pi}{2} + m\pi$, где $m$ — целое число. То есть:

Умножим обе части уравнения на 2:

Это решение для $x$.

6. Итоговые решения:

Таким образом, решения уравнения $\cos(2x) + \cos(3x) = 0$ имеют вид:

1. $x = \frac{\pi}{5} + \frac{2k\pi}{5}$, где $k$ — целое число.

2. $x = \pi + 2m\pi$, где $m$ — целое число.