Решите уравнение: а) х4 – 5х2 = 0; б) х4 – 11х2 + 18 = 0.

Для решения уравнений давайте рассмотрим их поочередно:

а) $x^4 - 5x^2 = 0$

1. Это уравнение можно решить, заметив, что его можно преобразовать в более простую форму. Представим $x^4$ как $(x^2)^2$, тогда уравнение примет вид:

   $$(x^2)^2 - 5x^2 = 0$$

2. Теперь, чтобы решить это уравнение, выделим общий множитель $x^2$:

   $$x^2(x^2 - 5) = 0$$

3. У нас получается произведение двух множителей, равное нулю. Чтобы оно было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. То есть, у нас два возможных случая:

   • $x^2 = 0$, откуда $x = 0$

   • $x^2 - 5 = 0$, откуда $x^2 = 5$, а значит $x = \pm \sqrt{5}$

Ответ для части а): $x = 0$, $x = \sqrt{5}$, $x = -\sqrt{5}$.

б) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$

1. Это уравнение можно решить аналогично предыдущему. Представим $x^4$ как $(x^2)^2$, и получим:

   $$(x^2)^2 - 11x^2 + 18 = 0$$

2. Теперь пусть $y = x^2$. Тогда уравнение примет вид:

   $$y^2 - 11y + 18 = 0$$

3. Решим это квадратное уравнение по формуле:

   $$y = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(1)(18)}}{2(1)}$$ $$y = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$$ $$y = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2}$$ $$y = \frac{11 \pm 7}{2}$$

4. Таким образом, у нас два возможных значения для $y$:

   • $y = \frac{11 + 7}{2} = 9$

   • $y = \frac{11 - 7}{2} = 2$

5. Поскольку $y = x^2$, получаем:

   • $x^2 = 9$, откуда $x = 3$ или $x = -3$

   • $x^2 = 2$, откуда $x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$

Ответ для части б): $x = 3$, $x = -3$, $x = \sqrt{2}$, $x = -\sqrt{2}$.