Что такое погрешность округления?

Погрешность округления — это разница между исходным точным значением и значением, которое мы получаем после округления (или вычислений с округлением по ходу дела). Она возникает потому, что мы представляем число с ограниченным числом знаков или бит, а значит «подрезаем» хвост, теряя часть информации.

Как это понимать на пальцах
• Если π ≈ 3,1415926 округлить до двух знаков, получим 3,14. Истинное значение − 3,1415926…; погрешность округления ≈ 0,0015926.
• Для денег: 1/3 рубля = 0,333…; при расчёте НДС/скидок с двумя знаками после запятой каждая операция добавляет маленькую ошибку (например, 0,33 вместо 0,333…).

Виды и меры погрешности
• Абсолютная погрешность: |x_ист − x_окр|.
• Относительная: |x_ист − x_окр| / |x_ист| (удобно сравнивать ошибки при разных масштабах).
• В компьютерах часто говорят о «машинном эпсилон» — оценке максимальной относительной ошибки представления числа в данном формате (например, двойная точность даёт около 2⁻⁵³ ≈ 1,11×10⁻¹⁶).

Откуда берётся

1. Округление при записи (фиксированное число знаков, разрядов, бит).

2. Округление при вычислениях: почти любая операция над числами с плавающей запятой требует подгонки результата к формату.

3. Кумуляция в длинных формулах или циклах: маленькие ошибки накапливаются.

4. Вычитание близких чисел (катастрофическая потеря точности): значимые цифры «уничтожаются», и роль округления резко возрастает.

Правила округления
• До ближайшего (ties to even/к ближайшему чётному) — уменьшает систематический сдвиг.
• Всегда вверх/вниз — вводит предсказуемый, но смещённый результат.
• Отбрасывание (усечение) — простое, но даёт погрешность до одного младшего разряда.
В стандартах вычислений (например, IEEE 754) режим округления выбирается явно, что влияет на характер ошибок.

Границы погрешности
Если округляем до k знаков после запятой, максимальная абсолютная погрешность обычно не превышает 0,5×10⁻ᵏ (при округлении к ближайшему). В двоичном формате — не более половины единицы последнего разряда (ULP).

Как уменьшают влияние
• Хранить больше разрядов: выбирать формат повыше (двойная/четверная точность) или делать расчёты с «запасом» точности, а в конце округлять.
• Перестраивать формулы: избегать вычитания близких чисел, использовать устойчивые эквивалентные преобразования.
• Суммировать аккуратно (Kahan и др.), сортировать слагаемые по величине.
• Контролировать порядок операций и режим округления, накапливать суммы в более широком типе.
• Явно оценивать и передавать погрешность (интервальные оценки, допуски).

Чем отличается от других ошибок
• Это не «ошибка измерения» (шум датчика, неточность инструмента), а чисто числовая/представления.
• Не то же самое, что систематическая погрешность модели: округление появляется даже при идеальной модели, просто из-за конечного числа разрядов.

Итог: погрешность округления — неизбежный спутник работы с числами конечной точности. Её можно ограничивать, понимать её пределы и управлять накоплением, но полностью избавиться — нельзя.