Срочно! Решите задачу!!!
Туристы, отправляясь в поход, планировали пройти весь маршрут за 12 дней, преодолевая ежедневно одно и то же целое число километров. Однако им удалось пройти весь маршрут за 9 дней, преодолевая ежедневно одно и то же целое число километров. Какова длина всего маршрута, если известно, что она больше 100 км, но меньше 120 км?

Давайте разберёмся с задачей.

1. Обозначим длину маршрута за $S$ километров. Нам известно, что:

   • Изначально туристы планировали пройти маршрут за 12 дней.
   • Каждый день они должны были проходить одно и то же количество километров. Пусть это количество равно $x$ км.

   Таким образом, по первоначальному плану они должны были преодолеть:

   $$S = 12 \times x$$

2. Фактические условия:

   • По факту туристы прошли маршрут за 9 дней, проходя каждый день одно и то же количество километров. Пусть это количество километров составляет $y$ км.
   • Тогда фактическая длина маршрута можно выразить так:
   $$S = 9 \times y$$

   То есть у нас есть два выражения для длины маршрута:

   $$S = 12 \times x$$ $$S = 9 \times y$$

3. Система уравнений: Из этих двух уравнений можно выразить, что:

   $$12 \times x = 9 \times y$$

   Сократим обе стороны на 3:

   $$4 \times x = 3 \times y$$

   Отсюда:

   $$y = \frac{4}{3} \times x$$

   То есть расстояние, которое они проходили ежедневно после изменения плана, было в $\frac{4}{3}$ раза больше, чем по первоначальному плану.

4. Ограничения задачи: Нам известно, что длина маршрута $S$ находится в пределах от 100 до 120 км:

   $$100 < S < 120$$

5. Поиск подходящих значений: Подставим первое выражение $S = 12 \times x$ и найдём целое значение $x$, которое удовлетворяет условию:

   $$100 < 12 \times x < 120$$

   Разделим все части неравенства на 12:

   $$\frac{100}{12} < x < \frac{120}{12}$$ $$8.33 < x < 10$$

   Таким образом, возможные значения $x$ — это 9 (целое число).

6. Найдем длину маршрута: Подставим $x = 9$ в формулу $S = 12 \times x$:

   $$S = 12 \times 9 = 108$$

7. Проверка: Теперь проверим, что при $S = 108$ км туристы смогут пройти маршрут за 9 дней при новом ежедневном расстоянии $y$:

   $$y = \frac{S}{9} = \frac{108}{9} = 12$$

   Итак, если туристы проходят 12 км в день, они завершают маршрут за 9 дней, что совпадает с условием задачи.

Ответ: длина маршрута составляет 108 км.