Расстояние между пристанями равно 112 км. Двигаясь по течению, катер прошел это расстояние на 1 час быстрее, чем обратный путь. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Для решения задачи нужно обозначить некоторые величины:

• Пусть собственная скорость катера (то есть скорость, с которой катер двигается по спокойной воде) равна $v$ км/ч.

• Скорость течения реки равна 1 км/ч, как указано в задаче.

• Расстояние между пристанями равно 112 км.

При движении по течению катер движется быстрее, потому что к его собственной скорости добавляется скорость течения, то есть скорость катера по течению будет равна $v + 1$ км/ч. При движении против течения катер будет двигаться медленнее, его скорость будет равна $v - 1$ км/ч.

Обозначим время, которое катер тратит на путь по течению, как $t_1$, а время на путь против течения — как $t_2$.

Из условия задачи известно, что время на путь по течению на 1 час меньше, чем время на путь против течения, то есть:

Время на путь можно выразить через расстояние и скорость по формуле:

где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Для пути по течению:

Для пути против течения:

По условию задачи $t_2 = t_1 + 1$, то есть:

Теперь решим это уравнение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю:

2. Умножим обе стороны на $(v - 1)(v + 1)$, чтобы избавиться от знаменателей:

3. Упростим:

4. Переносим все в одну сторону:

5. Извлекаем квадратный корень:

Таким образом, собственная скорость катера составляет 15 км/ч.