Теория вероятностей и статистика
Напишите именно решение:
В партии из 15 деталей 3 бракованных. Покупатель приобрел 5 деталей. Найдите вероятность того, что среди них:
- есть хотя бы одна бракованная
- 3 бракованные детали
- 2 бракованные детали
Сами ответы есть в конце учебника, но решение не могу подобрать. Помогите с решением пожалуйста.

Давайте решим задачу по теории вероятностей, исходя из условий. В партии из 15 деталей имеется 3 бракованных и 12 исправных. Мы выбираем 5 деталей, и нас интересует вероятность трех разных событий: наличия хотя бы одной бракованной детали, ровно трех бракованных и ровно двух бракованных.

1. Вероятность того, что среди выбранных деталей есть хотя бы одна бракованная

Сначала найдем вероятность противоположного события, а именно, что все выбранные 5 деталей окажутся исправными. Тогда вероятность того, что среди них будет хотя бы одна бракованная деталь, можно найти как дополнение к этой вероятности (единица минус вероятность того, что все детали исправны).

• Всего деталей: $15$ (из них $12$ исправные).
• Для события, что все $5$ деталей исправны, мы выбираем 5 из 12 исправных.

1. Посчитаем количество способов выбрать 5 исправных деталей из 12:

   $$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12 - 5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!}$$

2. Количество всех возможных выборок из 15 деталей (любых 5 деталей из 15):

   $$C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15 - 5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!}$$

3. Тогда вероятность того, что все детали окажутся исправными:

   $$P(\text{все исправные}) = \frac{C_{12}^5}{C_{15}^5}$$

4. И, наконец, вероятность того, что есть хотя бы одна бракованная деталь:

   $$P(\text{хотя бы одна бракованная}) = 1 - P(\text{все исправные}) = 1 - \frac{C_{12}^5}{C_{15}^5}$$

2. Вероятность того, что среди выбранных деталей ровно 3 бракованные

Для этого события нам нужно выбрать ровно 3 бракованные детали и 2 исправные.

1. Количество способов выбрать 3 бракованные из 3:

   $$C_{3}^3 = \frac{3!}{3!(3 - 3)!} = 1$$

2. Количество способов выбрать 2 исправные детали из 12:

   $$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12 - 2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!}$$

3. Тогда общее количество благоприятных исходов, когда выбраны 3 бракованные и 2 исправные:

   $$1 \times C_{12}^2 = C_{12}^2$$

4. Общая вероятность события (ровно 3 бракованные) будет:

   $$P(\text{ровно 3 бракованные}) = \frac{C_{12}^2}{C_{15}^5}$$

3. Вероятность того, что среди выбранных деталей ровно 2 бракованные

Для этого события нам нужно выбрать 2 бракованные и 3 исправные детали.

1. Количество способов выбрать 2 бракованные из 3:

   $$C_{3}^2 = \frac{3!}{2!(3 - 2)!} = 3$$

2. Количество способов выбрать 3 исправные детали из 12:

   $$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12 - 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!}$$

3. Общее количество благоприятных исходов, когда выбраны 2 бракованные и 3 исправные:

   $$3 \times C_{12}^3$$

4. Тогда вероятность события (ровно 2 бракованные) будет:

   $$P(\text{ровно 2 бракованные}) = \frac{3 \times C_{12}^3}{C_{15}^5}$$

Итак, мы получили выражения для каждой из вероятностей, и можно подставить значения для окончательного расчета.