Отвечу как на типичный вопрос на учебном форуме: «как понимать, какие неравенства верные, а какие нет, и как это проверять». Ниже — короткая «шпаргалка» с примерами и частыми ошибками.

1) С числами (без переменных)

Базовые правила сравнения

• Если оба числа положительные, больше то, у кого модуль больше: 7 > 5 — верно.

• Если одно положительное, другое отрицательное: положительное всегда больше: 3 > −100 — верно.

• Если оба отрицательные, больше то, у кого модуль меньше: −2 > −5 — верно.

• Для дробей с положительными знаменателями: можно привести к общему знаменателю или крест-накрест сравнить:
  $\frac{3}{7} ? \frac{2}{5}$ ⇒ сравниваем $3·5$ и $2·7$: 15 > 14 ⇒ $\frac{3}{7} > \frac{2}{5}$ — верно.
  Важно: если знаменатели разные по знаку, прежде чем «крестить», умножьте числители/знаменатели так, чтобы сравнивать при положительных знаменателях.

• Для десятичных: сравнивают поразрядно после выравнивания знаков после запятой: 1,350 < 1,36 — верно.

Примеры

• $−8 < −3$ — неверно (−8 левее на оси, значит меньше).

• $\frac{5}{-2} > −2$ — неверно, потому что $\frac{5}{-2}=−2{,}5$, а −2,5 > −2 — ложь.

2) Эквивалентные преобразования (когда знак сохраняется/меняется)

• Складывать/вычитать одно и то же число с обеих частей — можно, знак не меняется.
  Из $a>b$ следует $a+c>b+c$.

• Умножать/делить на положительное число — знак не меняется.
  Из $a>b$ следует $ka>kb$ при $k>0$.

• Умножать/делить на отрицательное — знак меняется.
  Из $a>b$ следует $ka$ при $k<0$.

• Возведение в степень/взятие корня: смотрим на монотонность.

  • Если функция возрастающая (на нужной области), знак сохраняется.

  • Если убывающая — знак меняется.

  • Всегда проверяйте область допустимых значений (ОДЗ).

3) Линейные неравенства

Решается «как уравнение», но помним про знак при делении на минус.
Пример: $−3x+5>11$ ⇒ $−3x>6$ ⇒ делим на −3 (меняем знак): $x<−2$.

4) Квадратичные и произвольные алгебраические

Стандарт: переносим всё в одну сторону и строим знак выражения по критическим точкам.

• $x^2−5x+6\ge 0$. Корни: 2 и 3. Ветви вверх ⇒ выражение ≥0 на $(−\infty,2]\cup[3,+\infty)$.
  Значит $x\in(−\infty,2]\cup[3,+\infty)$ делает неравенство верным.

Частая ошибка: «квадрат всегда ≥0, значит $x^2≥x$». Это неверно в целом. Проверка: $x=0{,}5$: $0{,}25≥0{,}5$ — ложь.

5) Рациональные неравенства (дроби с переменной в знаменателе)

1. ОДЗ: знаменатель ≠ 0.

2. Переносим в одну сторону к общему знаменателю.

3. Критические точки: нули числителя и знаменателя.

4. Таблица знаков (интервалы) и выбираем нужный знак.

Пример: $\dfrac{2x−3}{x+1}\le 0$.
Критические: $x=\frac{3}{2}$ (числитель 0), $x=−1$ (знаменатель 0, исключается).
Интервалы: $(−\infty,−1),(−1,\frac{3}{2}),(\frac{3}{2},+\infty)$.
Знак чередуется, проверка точкой даёт верный набор: $(−\infty,−1)\cup[\frac{3}{2},+\infty)$ — нет, это для ≥0; для ≤0 получается $(−1,\frac{3}{2}]$. И $x=−1$ исключаем.

6) Модульные

• $|x−a|$ ⇔ $a−r$.

• $|x−a|>r$ ⇔ $x$ или $x>a+r$ (строгое «или»).

Пример: $|2x−1|\le 3$ ⇒ $-3\le 2x−1\le 3$ ⇒ $-2\le 2x\le 4$ ⇒ $-1\le x\le 2$.

7) Степени и логарифмы

• Степенная $a^x$: по $x$ — возрастающая, если $a>1$, убывающая, если $0$.

  • При $a>1$: $a^u>a^v \iff u>v$