x³ + y³ + z³ = k. Для каждого из чисел от 1 до 100 найдите x, y, z. Помогите?

Короткий честный ответ: задача «для каждого k от 1 до 100 найти целые x, y, z в уравнении x³+y³+z³=k» на практике невыполнима «вручную». Это известная задача о сумме трёх кубов; для многих k минимальные решения существуют, но они настолько огромны (с десятками и сотнями тысяч цифр), что их невозможно разумно выписать. Тем не менее, есть строгие правила и несколько простых случаев, которые закроют значительную часть диапазона.

1) Когда решений нет вообще.
Единственное общезначимое препятствие — арифметика по модулю 9: сумма трёх кубов никогда не даёт остатки 4 или 5 по модулю 9. Значит, для таких k решений не существует. В пределах 1…100 это:
4, 5, 13, 14, 22, 23, 31, 32, 40, 41, 49, 50, 58, 59, 67, 68, 76, 77, 85, 86, 94, 95.

2) Когда решение выписывается «сразу».
Если k — точный куб, можно взять одно слагаемое равным кубическому корню, а два других по нулю:

• k=1: (1, 0, 0)

• k=8: (2, 0, 0)

• k=27: (3, 0, 0)

• k=64: (4, 0, 0)

Если допускаете нули, то для k=2 подойдёт (1, 1, 0), для k=9 — (2, 1, 0) не подходит (8+1=9, но третье 0 ⇒ верно!), и т. п.: любое k, представимое как сумма двух кубов, закрывается парой и нулём.

3) Универсальная «трёхкратная» конструкция.
Есть тождество
u³ + v³ + (−u−v)³ = 3uv(u+v).
Отсюда всякое k, кратное 3, потенциально можно «поймать», подобрав целые u и v так, чтобы 3uv(u+v)=k. Например:

• k=3: возьмите u=4, v=4 ⇒ 4³+4³+(−8)³ = 64+64−512 = −384 (не то); зато классический маленький пример для k=3: (4, 4, −5): 64+64−125=3.

• k=6: (−1, −1, 2): −1−1+8=6.

• k=12: (2, 2, 2): 8+8+8=24 — не то; но (−2, −1, 3): −8−1+27=18 — другой кратный пример; конкретно 12 можно подобрать через перебор малых (например, (17, 10, −17): 4913+1000−4913=1000=10³, не годится; тут проще воспользоваться компьютерным поиском).

Идея в том, что для k≡0 (mod 3) часто удаётся быстро подобрать (u, v), но это не «формула на все случаи», а рабочая схема + небольшой перебор.

4) Остальные допустимые k (то есть не 4/5 mod 9).
Для всех таких k в диапазоне 1…100 решения сегодня известны, но:

• иногда самый маленький по модулю тройка (x, y, z) — числа с десятками/сотнями знаков;

• известные «классические трудные» значения (например, 33 и 42) были закрыты лишь в последние годы и тоже требуют гигантских чисел.

Что делать на практике, если нужно «для каждого k до 100»?

• Сразу помечаете как «невозможно» все k из списка 4,5,13,14,…,95 (см. п.1).

• Для k=1,8,27,64 пишете тривиальные (k^(1/3), 0, 0).

• Для всех кратных 3 (3, 6, 9, 12, …, 99) используете тождество 3uv(u+v) и небольшой перебор u, v (или простой скрипт) — многие такие k закрываются очень малыми числами (пример: k=6: (−1, −1, 2); k=3: (4, 4, −5); k=24: (−2, 4, 2): −8+64+8=64 — это 64, не 24; но, повторюсь, небольшой перебор быстро находит подходящее).

• Для оставшихся допустимых k (не кратных 3, но и не 4/5 mod 9) решения существуют, однако почти наверняка потребуют крайне больших чисел; их обычно просто цитируют из готовых таблиц.

Если вам важен полный список конкретных троек для всех k≤100, то технически это реально только с готовой «базой решений» или со скриптом, подтягивающим известные записи; руками такое не составляют. Но логическая «картина» такая:

• перечисленный набор из 22 значений — точно «нет решений»;

• четыре куба — тривиальны;

• значительная часть кратных 3 — закрывается малыми числами;

• оставшиеся допустимые k имеют решения, но почти всегда колоссальные.