Вернувшись из отпуска, Иван обнаружил, что часы давно остановились. Найдите вероятность того, что время, которое показывают часы, отличается от действительного времени не больше, чем на 30 минут.

Предположим, что это обычные стрелочные часы с 12-часовым циферблатом. Когда часы остановились, они «застыли» и всё время показывают одно и то же значение (какое-то фиксированное время на циферблате). Иван вернулся из отпуска в некоторый момент, который заранее неизвестен; естественная модель здесь такая: момент возвращения равновероятен в пределах любого 12-часового промежутка (то есть реальное время относительно положения на циферблате можно считать равномерно распределённым по кругу длиной 12 часов).

Обозначим через $T_0$ время, которое показывают остановившиеся часы (оно фиксировано), а через $T$ — действительное время в момент, когда Иван на них посмотрел. Нас интересует вероятность события

Так как циферблат циклический, удобнее думать о времени на круге длиной 12 часов. Тогда условие «отличается не больше чем на 30 минут» означает: действительное время должно попасть в интервал длиной 1 час (это 30 минут “до” $T_0$ и 30 минут “после” $T_0$) на этом 12-часовом круге.

• Общая “длина” всех возможных положений действительного времени относительно циферблата: $12$ часов.

• Благоприятная “длина” (когда расхождение не больше 30 минут): $1$ час.

При равномерности получаем

Ответ: $\boxed{\frac{1}{12}}$.