6/tg²x - 17/sinx + 16 = 0 а) Решить уравнение б) Найти корни уравнения на промежутке [-5π; -7π/2]

Рассмотрим уравнение

Область допустимых значений

В выражении есть знаменатели $\tg^2 x$ и $\sin x$, значит:

• $\sin x \ne 0$ (иначе $\frac{17}{\sin x}$ не определено),

• $\tg x \ne 0$ (иначе $\frac{6}{\tg^2 x}$ не определено), но $\tg x=0$ как раз при $\sin x=0$, так что достаточно условия $\sin x\ne 0$.

а) Решить уравнение

Преобразуем:

Тогда уравнение:

Умножим на $\sin^2 x$ (это можно, так как $\sin x\ne 0$):

Используем $\cos^2 x=1-\sin^2 x$:

Обозначим $t=\sin x$. Получаем квадратное:

Дискриминант:

Тогда

Отсюда:

Значит,

Общее решение: