Делится ли число 50! на: а) 400; б) 98; в) 510?

Рассмотрим разложение каждого делителя на простые множители и проверим, хватает ли соответствующих простых множителей в разложении числа $50!$. Напомню, что

и в нём содержатся все простые числа $\le 50$ в больших степенях.

а) Делится ли $50!$ на $400$?

Разложим:

Значит, нужно проверить, есть ли в $50!$ как минимум четыре двойки и две пятёрки.

• Двоек в $50!$ очень много (каждое второе число даёт хотя бы одну 2, каждое четвёртое — ещё одну и т. д.). Формально степень двойки:

  $$v_2(50!)=\left\lfloor\frac{50}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{16}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{32}\right\rfloor =25+12+6+3+1=47,$$

  то есть $2^{47}$ делит $50!$, а значит тем более $2^4$ делит.

• Пятёрок:

  $$v_5(50!)=\left\lfloor\frac{50}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor =10+2=12,$$

  то есть пятёрок как минимум 12, значит $5^2$ точно есть.

Следовательно, $50!$ делится на $2^4\cdot 5^2=400$.

Ответ: да, делится.

б) Делится ли $50!$ на $98$?

Разложим:

Нужно проверить наличие в $50!$ хотя бы одной двойки и двух семёрок.

• Двойка в $50!$ очевидно есть (например, множитель 2).

• Семёрок в $50!$:

  $$v_7(50!)=\left\lfloor\frac{50}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{49}\right\rfloor =7+1=8.$$

  То есть в $50!$ содержится $7^8$, а значит тем более $7^2$.

Следовательно, $50!$ делится на $2\cdot 7^2=98$.

Ответ: да, делится.

в) Делится ли $50!$ на $510$?

Разложим:

Нужно, чтобы в $50!$ были множители $2$, $3$, $5$, $17$ (хотя бы по одному разу каждый).

Все эти числа $\le 50$, причём сами множители $2$, $3$, $5$, $17$ непосредственно входят в произведение $1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 50$. Значит, каждый из них точно делит $50!$, а их произведение тоже делит $50!$.

Можно также формально указать степени:

• $v_2(50!)\ge 1$,

• $v_3(50!)=\lfloor 50/3\rfloor+\lfloor 50/9\rfloor+\lfloor 50/27\rfloor=16+5+1=22\ge 1$,

• $v_5(50!)=12\ge 1$,

• $v_{17}(50!)=\lfloor 50/17\rfloor=2\ge 1$