Даны точки А(2;4), B(6;-4) и C(-8;-1). Докажите, что треугольник АВС является прямоугольным с гипотенузой ВС.

Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным с гипотенузой BC, нужно показать, что одна из сторон треугольника является гипотенузой, а угол между двумя другими сторонами — прямой.

1. Найдем длины сторон треугольника.

Для этого используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

где $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ — координаты двух точек.

• Длина стороны AB:

• Длина стороны BC:

• Длина стороны AC:

2. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Мы предполагаем, что гипотенузой является сторона BC, так как она наибольшая (ее длина $\sqrt{205}$).

Проверим, выполняется ли равенство:

Подставим найденные значения:

Равенство выполнено, значит, треугольник ABC действительно прямоугольный с гипотенузой BC.

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC является прямоугольным, и его гипотенуза — сторона BC.