Найдите корни уравнения cosx-cos2x=1, принадлежащие промежутку (-3П/4; П ]

Рассмотрим уравнение $\cos x - \cos 2x = 1$.

1. Применим формулу для $\cos 2x$:

   $$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$$

   Подставим это в исходное уравнение:

   $$\cos x - (2 \cos^2 x - 1) = 1$$

   Упростим:

   $$\cos x - 2 \cos^2 x + 1 = 1$$ $$\cos x - 2 \cos^2 x = 0$$

2. Перепишем это как квадратное уравнение относительно $\cos x$:

   $$-2 \cos^2 x + \cos x = 0$$

   Вынесем $\cos x$ за скобки:

   $$\cos x ( -2 \cos x + 1 ) = 0$$

3. Это уравнение даёт два случая:

   • $\cos x = 0$

   • $-2 \cos x + 1 = 0$, что означает $\cos x = \frac{1}{2}$

Теперь решим каждый случай.

1. $\cos x = 0$

Решения этого уравнения на промежутке $(-\frac{3\pi}{4}; \pi]$:

• $x = \frac{\pi}{2}$

2. $\cos x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения:

• $x = \pm \frac{\pi}{3}$

Теперь проверим, какие из этих решений лежат на промежутке $(-\frac{3\pi}{4}; \pi]$:

• $\frac{\pi}{3}$ — подходит, так как оно в пределах промежутка.

• $-\frac{\pi}{3}$ — тоже подходит, так как оно также в пределах промежутка.

Ответ:

Корни уравнения на промежутке $(-\frac{3\pi}{4}; \pi]$ — это $x = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$.