Периметр прямоугольного треугольника равен 48, а гипотенуза — 20. Найдите его катеты. Задачу решить системой.

Составим систему уравнений. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $x$ и $y$, гипотенуза $c=20$.

1. По условию периметр равен 48:

2. По теореме Пифагора:

Получили систему:

Теперь выразим произведение $xy$. Возьмём квадрат суммы:

Подставим известные значения:

Значит, $x$ и $y$ — числа, у которых

Тогда $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения:

Дискриминант:

Корни:

Следовательно, катеты равны $12$ и $16$.