Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а периметр равен 40 см. Найдите катеты прямоугольного треугольника.

Для нахождения катетов прямоугольного треугольника, зная гипотенузу и периметр, можно воспользоваться теоремой Пифагора и уравнением для периметра.

1. Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Из условия задачи мы знаем:

   • Гипотенуза $c = 17$ см.

   • Периметр $P = 40$ см.

   Периметр прямоугольного треугольника можно выразить как сумму всех его сторон:

   $$a + b + c = P$$

   Подставим значения:

   $$a + b + 17 = 40$$

   Отсюда:

   $$a + b = 40 - 17 = 23$$

   То есть сумма катетов равна 23 см.

2. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$

   Подставим значение гипотенузы:

   $$a^2 + b^2 = 17^2 = 289$$

Теперь у нас есть система уравнений:

3. Для решения системы возьмем квадрат первого уравнения:

   $$(a + b)^2 = 23^2 = 529$$

   Раскроем квадрат:

   $$a^2 + 2ab + b^2 = 529$$

   Подставим значение $a^2 + b^2 = 289$ из второго уравнения:

   $$289 + 2ab = 529$$

   Отсюда:

   $$2ab = 529 - 289 = 240$$

   Разделим на 2:

   $$ab = 120$$

Теперь у нас есть система:

4. Решим эту систему, используя формулу для корней квадратного уравнения. Подставим $a$ и $b$ как корни уравнения:

   $$x^2 - (a + b)x + ab = 0$$

   Подставим значения:

   $$x^2 - 23x + 120 = 0$$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

Таким образом, два корня:

Следовательно, катеты треугольника равны 15 см и 8 см.