Решите уравнение \(16\cos^4 x - 24\cos^2 x + 9 = 0\). Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку \([2\pi; 3\pi]\).

Решим уравнение $16\cos^4 x - 24\cos^2 x + 9 = 0$.

1. Введём замену. Пусть $y = \cos^2 x$. Тогда уравнение примет вид:

   $$16y^2 - 24y + 9 = 0.$$

   Это квадратное уравнение относительно $y$.

2. Решим квадратное уравнение с помощью формулы:

   $$y = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}.$$

   Сначала найдём дискриминант:

   $$D = (-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 576 - 576 = 0.$$

   Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень:

   $$y = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}.$$

3. Теперь вернёмся к исходной переменной $y = \cos^2 x$. Мы получаем:

   $$\cos^2 x = \frac{3}{4}.$$

   Следовательно:

   $$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

4. Теперь найдём все $x$, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, на интервале $[2\pi; 3\pi]$.

Для $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Значение $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается в точках:

Для интервала $[2\pi; 3\pi]$ мы ищем такие $x$:

Для $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Значение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается в точках:

Для интервала $[2\pi; 3\pi]$ мы ищем такие $x$:

5. Таким образом, корни уравнения $16\cos^4 x - 24\cos^2 x + 9 = 0$, принадлежащие отрезку $[2\pi; 3\pi]$, это:

   $$x = \frac{13\pi}{6}, \quad x = \frac{17\pi}{6}.$$