Решите уравнение \( 2\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan x \). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]\). Помогите, пожалуйста.

Решим уравнение

и найдём корни на отрезке $\left[-2\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right]$.

1) Преобразуем уравнение

Используем тождество:

Тогда уравнение становится:

Но $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, причём $\cos x\neq 0$ (иначе тангенс не определён). Значит:

Умножим на $\cos x$:

Вынесем $\sin x$:

Отсюда два случая:

1. $\sin x=0$

2. $2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12$

И во всех найденных решениях дополнительно должно выполняться $\cos x\neq 0$. В наших случаях это условие автоматически выполнится (для $\sin x=0$ имеем $\cos x=\pm 1\neq 0$; для $\cos x=\frac12$ тоже не ноль).

2) Общие решения

Случай A: $\sin x=0 \Rightarrow x=k\pi,\ k\in\mathbb Z.$

Случай B: $\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$

3) Отбор корней на $\left[-2\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right]$

A) $x=k\pi$

Проверим значения $k\pi$ в нужном промежутке:

• при $k=-2$: $x=-2\pi$ — подходит (граница включена);

• при $k=-1$: $x=-\pi$ — подходит;

• при $k=0$: $x=0$ — не подходит (вне промежутка).

Значит из этого случая получаем:

B) $x=\frac{\pi}{3}+2\pi k$ и $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k$

1. $x=\frac{\pi}{3}+2\pi k$.
   Нужно:

При $k=-1$: $x=\frac{\pi}{3}-2\pi=-\frac{5\pi}{3}$. Это число лежит между $-2\pi$ и $-\frac{\pi}{2}$, значит подходит.
При $k=0$: $x=\frac{\pi}{3}$ — уже не подходит.
Другие $k$ дадут значения вне промежутка.
Итак, отсюда: