Докажите, что всякое нечётное число, начиная с 3, является разностью последовательных квадратов натуральных чисел.

Для того чтобы доказать, что каждое нечётное число, начиная с 3, является разностью последовательных квадратов натуральных чисел, рассмотрим два последовательных натуральных числа $n$ и $n+1$. Разность их квадратов будет:

Раскроем это выражение:

Таким образом, разность квадратов последовательных чисел $n+1$ и $n$ равна $2n + 1$, что всегда является нечётным числом. Заметим, что $2n + 1$ — это нечётное число, и оно может быть любым нечётным числом, начиная с 3. Чтобы увидеть это, подставим различные значения $n$:

• Для $n = 1$: $2 \times 1 + 1 = 3$

• Для $n = 2$: $2 \times 2 + 1 = 5$

• Для $n = 3$: $2 \times 3 + 1 = 7$

• Для $n = 4$: $2 \times 4 + 1 = 9$

Таким образом, все нечётные числа, начиная с 3, могут быть выражены как разность квадратов последовательных натуральных чисел.