Tga+ctgb/tgb+ctga=tga*ctgb

Рассмотрим уравнение

1) Область допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы выражение имело смысл, должны существовать все тригонометрические функции и знаменатель не должен быть нулём:

• $\tg a$ существует, если $a\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$.

• $\ctg a$ существует, если $a\neq k\pi$.

• $\tg b$ существует, если $b\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$.

• $\ctg b$ существует, если $b\neq k\pi$.

• $\tg b+\ctg a\neq 0$.

2) Замена переменных

Положим:

Тогда

(здесь автоматически требуется $x\neq 0$ и $y\neq 0$, то есть $a\neq k\pi$, $b\neq k\pi$).

Подставим в уравнение:

3) Упрощение левой части

Приведём числитель и знаменатель к общему виду:

Тогда

Если $xy+1\neq 0$, то сокращаем $xy+1$:

А правая часть уравнения как раз $\frac{x}{y}$. Значит, при $xy+1\neq 0$ уравнение выполняется тождественно.

4) Что происходит при $xy+1=0$?

Условие $xy+1=0$ означает:

Тогда