1)log12 8 + log12 18 1)log12 48 + log12 3 2)16^log8 27 2)64^log8 7 3)log1/6 36√6 3)log1/5 25√5 4)5^log5 3+1 4)3^1-log3 3 5)log6 (2x+4)=0 5)log7 (3x-2)=3 6)log2^2 x-3log2 x-4=0 6)log3^2 x-8log3 x+12=0

1. log₁₂ 8 + log₁₂ 18

Используя свойство логарифмов:
logₐ x + logₐ y = logₐ(x * y),
мы можем преобразовать выражение:
log₁₂ 8 + log₁₂ 18 = log₁₂ (8 * 18) = log₁₂ 144.

2. log₁₂ 48 + log₁₂ 3

Аналогично применим свойство логарифмов:
log₁₂ 48 + log₁₂ 3 = log₁₂ (48 * 3) = log₁₂ 144.

3. 16^log₈ 27

Это выражение можно упростить с использованием логарифмических свойств. Напишем 16 как 2⁴ и 8 как 2³:
16^log₈ 27 = (2⁴)^log₂³ 27 = 2^(4 * log₂³ 27).
Теперь, log₂³ 27 — это логарифм числа 27 по основанию 8. Поскольку 27 = 3³, можно использовать свойство логарифмов:
log₈ 27 = log₂ 27 / log₂ 8 = log₂ 27 / 3 = (log₂ 3³) / 3 = log₂ 3.
Таким образом, 16^log₈ 27 = 2^(4 * log₂ 3) = 3⁴ = 81.

4. 64^log₈ 7

64 = 8², то есть 64^log₈ 7 = (8²)^log₈ 7 = 8^(2 * log₈ 7).
Используя свойство логарифмов, получаем 8^(2 * log₈ 7) = 7² = 49.

5. log₁/₆ 36√6

log₁/₆ 36√6 = log₁/₆ (36 * 6^(1/2)) = log₁/₆ (36 * 6^0.5).
Для упрощения этого выражения, сначала вычислим 36 * 6^0.5 ≈ 36 * 2.449 = 88.204.
Затем log₁/₆ 88.204 = (log₆ 88.204) / (log₆ 1/6) = -log₆ 88.204.

6. log₁/₅ 25√5

log₁/₅ 25√5 = log₁/₅ (25 * 5^(1/2)) = log₁/₅ (25 * 5^0.5).
Подсчитаем 25 * 5^0.5 ≈ 25 * 2.236 = 55.9.
log₁/₅ 55.9 = (log₅ 55.9) / (log₅ 1/5) = -log₅ 55.9.

7. 5^log₅ 3 + 1

Используем свойство логарифмов:
5^log₅ 3 = 3.
Следовательно, 5^log₅ 3 + 1 = 3 + 1 = 4.

8. 3^1 - log₃ 3

log₃ 3 = 1 (так как логарифм числа по своему основанию равен 1).
Таким образом, 3^1 - log₃ 3 = 3 - 1 = 2.

9. log₆ (2x + 4) = 0

log₆ (2x + 4) = 0 означает, что 2x + 4 = 6⁰ = 1.
Решим уравнение:
2x + 4 = 1,
2x = -3,
x = -3/2.

10. log₇ (3x - 2) = 3

log₇ (3x - 2) = 3 означает, что 3x - 2 = 7³ = 343.
Решим уравнение:
3x - 2 = 343,
3x = 345,
x = 345 / 3 = 115.

11. log₂² x - 3log₂ x - 4 = 0

Пусть log₂ x = y, тогда уравнение примет вид:
y² - 3y - 4 = 0.
Решим это квадратное уравнение:
y = (-(-3) ± √((-3)² - 4(1)(-4))) / 2(1) = (3 ± √(9 + 16)) / 2 = (3 ± √25) / 2.
Получаем два корня:
y₁ = (3 + 5) / 2 = 4,
y₂ = (3 - 5) / 2 = -1.
Так как log₂ x = y, то x = 2⁴ = 16, и log₂ x = -1 не подходит, так как log₂ x не может быть отрицательным для положительных x.
Ответ: x = 16.

12. log₃² x - 8log₃ x + 12 = 0

Пусть log₃ x = y, тогда уравнение примет вид:
y² - 8y + 12 = 0.
Решим квадратное уравнение:
y = (-(-8) ± √((-8)² - 4(1)(12))) / 2(1) = (8 ± √(64 - 48)) / 2 = (8 ± √16) / 2.
Получаем два корня:
y₁ = (8 + 4) / 2 = 6,
y₂ = (8 - 4) / 2 = 2.
Таким образом, log₃ x = 6, x = 3⁶ = 729, и log₃ x = 2, x = 3² = 9.
Ответ: x = 729 и x = 9.