Объясните, как решается подобное уравнение: 2sin²x - 1 = 0.

Для решения уравнения $2\sin^2(x) - 1 = 0$, давайте пошагово разберемся, как найти его корни.

1. Приведение уравнения к более простому виду. Исходное уравнение:

   $$2\sin^2(x) - 1 = 0$$

   Переносим $-1$ на другую сторону:

   $$2\sin^2(x) = 1$$

2. Изоляция $\sin^2(x)$. Теперь делим обе стороны уравнения на 2:

   $$\sin^2(x) = \frac{1}{2}$$

3. Извлечение квадратного корня. Чтобы найти значение $\sin(x)$, извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

   $$\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$$

   Упростим правую часть:

   $$\sin(x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

4. Нахождение значений $x$. Теперь нам нужно найти углы $x$, для которых синус равен $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

   • $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ для углов $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

   • $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ для углов $x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ и $x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi$.

5. Ответ. Общие решения уравнения:

   $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi$$

   где $k$ — любое целое число.