Решить уравнение: 2sinx·cosx = cos2x - 2sin²x

Решим уравнение

1) Преобразуем левую часть

Из формулы двойного угла:

Тогда уравнение становится

2) Преобразуем правую часть через $\cos 2x$

Используем тождество:

Тогда

Значит правая часть:

И уравнение принимает вид:

Обозначим $t=2x$. Получим:

То есть

3) Свернём $\sin t-2\cos t$ в одну синусоиду

Представим:

где $\sqrt5=\sqrt{1^2+(-2)^2}$, а $\varphi$ выбираем так, чтобы

Тогда уравнение:

Пусть $\alpha=\arcsin\frac{1}{\sqrt5}$. Тогда $\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt5}$, и решения уравнения $\sin y=-\frac{1}{\sqrt5}$ таковы:

Здесь $y=t-\varphi$. Значит:

Возвращаемся к $t=2x$: