При каких значениях переменной имеет смысл выражения 1/корень 8+2d-d^2 / это означает дробь

Выражение $\frac{1}{\sqrt{8 + 2d - d^2}}$ имеет смысл, когда знаменатель выражения $\sqrt{8 + 2d - d^2}$ является действительным числом, то есть когда подкоренное выражение не отрицательно, потому что квадратный корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Для того чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, нужно решить неравенство:

Перепишем это неравенство в стандартной форме:

Умножим обе части на -1 (что изменит знак неравенства):

Теперь решим это неравенство с помощью дискриминанта. Для квадратичного уравнения $d^2 - 2d - 8 = 0$ найдем дискриминант:

Корни уравнения можно найти по формуле:

Корни уравнения:

Таким образом, неравенство $d^2 - 2d - 8 \leq 0$ выполняется на интервале $-2 \leq d \leq 4$.

Следовательно, выражение $\frac{1}{\sqrt{8 + 2d - d^2}}$ имеет смысл при значениях $d$ в пределах от $-2$ до $4$ включительно.