Найдите область значений функции \( y = -x^2 - 8x + 1 \).

Для нахождения области значений функции $y = -x^2 - 8x + 1$ нужно понять, как эта функция ведет себя. Это парабола, и ее уравнение имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -1$, $b = -8$ и $c = 1$.

Так как коэффициент $a = -1$ отрицателен, парабола открывается вниз. Чтобы найти область значений, нужно определить ее вершину, так как максимальное значение функции будет в вершине, а затем значения будут уменьшаться по мере удаления от этой вершины.

Для нахождения координат вершины используем формулу для абсциссы вершины параболы:

Подставляем $a = -1$ и $b = -8$:

Теперь, чтобы найти ординату вершины $y_{\text{вершина}}$, подставим $x = -4$ в исходную функцию:

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-4, 17)$, и максимальное значение функции $y$ равно 17.

Так как парабола открывается вниз, значения функции могут быть любыми, меньшими или равными 17. Таким образом, область значений функции $y = -x^2 - 8x + 1$ — это все числа, меньше либо равные 17. То есть:

Ответ: область значений функции $y = -x^2 - 8x + 1$ — это $(-\infty, 17]$.