Найти корни уравнения \(x^3 + x^2 = 9x + 9\).

Для решения уравнения $x^3 + x^2 = 9x + 9$ сначала преобразуем его, чтобы привести все члены на одну сторону:

Теперь рассмотрим это уравнение как кубическое уравнение, и попробуем решить его методом подбора или с помощью рациональных корней.

1. Подбираем рациональные корни. Для этого используем теорему о рациональных корнях. Согласно ей, возможные рациональные корни будут делителями свободного члена (в данном случае $-9$) и делителями ведущего коэффициента (в данном случае 1). То есть возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 3, \pm 9$.

2. Пробуем подставить эти значения в уравнение.

   • Подставим $x = 1$:

     $$1^3 + 1^2 - 9(1) - 9 = 1 + 1 - 9 - 9 = -16 \neq 0$$

     Значит, $x = 1$ не является корнем.

   • Подставим $x = -1$:

     $$(-1)^3 + (-1)^2 - 9(-1) - 9 = -1 + 1 + 9 - 9 = 0$$

     $x = -1$ является корнем уравнения.

3. Делим многочлен на $x + 1$, используя деление многочлена:

Процесс деления:

• $x^3 \div x = x^2$

• $x^2 \cdot (x + 1) = x^3 + x^2$

• $x^3 + x^2 - (x^3 + x^2) = 0$

Оставшиеся термины:

• $-9x - 9$

• $-9x \div x = -9$

• $-9 \cdot (x + 1) = -9x - 9$

• $-9x - 9 - (-9x - 9) = 0$

Итак, деление дало результат $x^2 - 9$.

4. Получаем квадратное уравнение:

Решаем его:

5. Корни уравнения:
   Корни исходного уравнения $x^3 + x^2 = 9x + 9$ — это $x = -1$, $x = 3$ и $x = -3$.

Ответ: $x = -1, x = 3, x = -3$.