Решить уравнение 16sin^4x+8cos2x-7=0

Рассмотрим уравнение:

Чтобы решить его, упростим и выразим всё через одну функцию. Заметим, что $\sin^4 x$ и $\cos 2x$ можно выразить через основные тригонометрические функции.

Шаг 1: Замена для $\sin^4 x$

Выражение $\sin^4 x$ можно представить через $\sin^2 x$:

Подставим это выражение:

Таким образом, $16 \sin^4 x$ будет:

Шаг 2: Подставим выражения в уравнение

Теперь уравнение примет вид:

Упростим его, сложив подобные слагаемые:

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Переносим $-3$ на правую сторону:

Разделим обе стороны на 4:

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

Шаг 4: Найдем значения $x$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $\cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Рассмотрим каждое из них отдельно.

Уравнение 1: $\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается при $\theta = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $\theta = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

То есть:

Разделим обе части на 2:

Уравнение 2: $\cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$