11.Упростите выражение х2/х2-25-х/(х-5) и найдите его значение при х=5/2

Чтобы упростить выражение $\frac{x^2}{x^2 - 25} - \frac{x}{x - 5}$, давайте рассмотрим его шаг за шагом.

1. Начнём с того, что $x^2 - 25$ можно разложить на множители. Это разность квадратов, то есть:

   $$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5).$$

   Таким образом, первое слагаемое становится:

   $$\frac{x^2}{(x - 5)(x + 5)}.$$

2. Теперь второе слагаемое: $\frac{x}{x - 5}$. Для удобства приведения к общему знаменателю давайте запишем его с таким же знаменателем, как и в первом слагаемом. Умножим числитель и знаменатель второго слагаемого на $x + 5$:

   $$\frac{x}{x - 5} = \frac{x(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)}.$$

3. Теперь оба слагаемых имеют общий знаменатель $(x - 5)(x + 5)$, и их можно объединить:

   $$\frac{x^2}{(x - 5)(x + 5)} - \frac{x(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x^2 - x(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)}.$$

4. Раскроем скобки в числителе:

   $$x^2 - x(x + 5) = x^2 - x^2 - 5x = -5x.$$

   Таким образом, упрощённое выражение становится:

   $$\frac{-5x}{(x - 5)(x + 5)}.$$

Теперь нужно найти значение этого выражения при $x = \frac{5}{2}$.

Подставим $x = \frac{5}{2}$ в числитель и знаменатель:

• Числитель: $-5x = -5 \times \frac{5}{2} = -\frac{25}{2}$.

• Знаменатель: $(x - 5)(x + 5) = \left( \frac{5}{2} - 5 \right) \left( \frac{5}{2} + 5 \right) = \left( \frac{5}{2} - \frac{10}{2} \right) \left( \frac{5}{2} + \frac{10}{2} \right) = \left( -\frac{5}{2} \right) \left( \frac{15}{2} \right) = -\frac{75}{4}$.

Теперь подставим значения в дробь:

Ответ: значение выражения при $x = \frac{5}{2}$ равно $\frac{2}{3}$