Сколько различных пятизначных чисел, кратных 5, можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, чтобы ни одна цифра в числе не повторялась?

Нужно составить пятизначные числа из цифр $0,1,2,3,4,5$ так, чтобы:

1. число было кратно 5;

2. цифры не повторялись;

3. первая цифра (старший разряд) не может быть 0, иначе число не пятизначное.

Число кратно 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра — 0 или 5. Разберём два случая.

Случай 1: последняя цифра — $0$

Тогда первые 4 позиции нужно заполнить цифрами из набора $\{1,2,3,4,5\}$ (ноль уже использован и повторять нельзя).

• Первая цифра (самая левая) может быть любой из $1,2,3,4,5$: 5 вариантов.

• После выбора первой цифры остаётся 4 цифры, и нужно расставить 3 из них по оставшимся трём местам (порядок важен):

  $$P(4,3)=4\cdot3\cdot2=24$$

Итого для этого случая:

Случай 2: последняя цифра — $5$

Тогда первые 4 позиции заполняем цифрами из набора $\{0,1,2,3,4\}$ (пятёрка уже использована).

Сначала посчитаем все перестановки длины 4 без повторений из 5 цифр:

Но среди них есть недопустимые, где первая цифра равна $0$ (тогда число не пятизначное). Посчитаем такие:

• фиксируем первую цифру $0$;

• остальные 3 места заполняем тремя различными цифрами из $\{1,2,3,4\}$ в порядке:

  $$P(4,3)=4\cdot3\cdot2=24$$

Тогда допустимых чисел во втором случае:

Общий ответ

Суммируем оба случая:

Ответ: $216$ различных пятизначных чисел.