Используя свойства числовых неравенств, докажите, что возрастает: а) \( y = 5x \) б) \( y = 2x + 3 \)

Чтобы доказать, что функция возрастает, достаточно показать: для любых $x_1$ и $x_2$, таких что $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) < f(x_2)$. Будем пользоваться свойствами неравенств:

• если $a$, то при умножении на положительное число $k>0$ получаем $ka$;

• если $a$, то при прибавлении одного и того же числа $c$ получаем $a+c$.

а) $y = 5x$

Пусть $x_1 < x_2$. Так как $5>0$, умножим обе части неравенства на 5:

Но $5x$ — это и есть значение функции $y$. Значит,

Следовательно, функция $y=5x$ возрастает (на всех действительных $x$).

б) $y = 2x + 3$

Пусть $x_1 < x_2$. Так как $2>0$, умножим обе части на 2:

Теперь прибавим к обеим частям одно и то же число 3:

Но $2x+3$ — это значение функции, значит,

Следовательно, функция $y=2x+3$ возрастает (на всех действительных $x$).