Корень из 3 sin2x-cos2x =2

Чтобы решить уравнение $\sqrt{3} \sin(2x) - \cos(2x) = 2$, будем действовать пошагово.

1. Запишем уравнение:

   $$\sqrt{3} \sin(2x) - \cos(2x) = 2$$

2. Преобразуем выражение с тригонометрическими функциями:
   В данном уравнении можно выделить общий множитель для синуса и косинуса, а именно, выражение напоминает формулу для синуса суммы углов. Для этого используем формулу:

   $$R \sin(2x + \alpha)$$

   где $R$ и $\alpha$ — некоторые константы, которые нам нужно найти. Для этого сопоставим коэффициенты при $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$.

3. Найдем $R$ и $\alpha$:
   Мы можем записать:

   $$\sqrt{3} \sin(2x) - \cos(2x) = R \sin(2x + \alpha)$$

   Из формулы сложения синуса имеем:

   $$R \sin(2x + \alpha) = R (\sin(2x) \cos(\alpha) + \cos(2x) \sin(\alpha))$$

   Приравниваем коэффициенты при $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$:

   $$R \cos(\alpha) = \sqrt{3} \quad \text{и} \quad R \sin(\alpha) = -1$$

4. Решаем систему для $R$ и $\alpha$:
   Из этих двух уравнений можем найти $R$ и $\alpha$. Для этого сначала найдем $R$, используя теорему Пифагора:

   $$R^2 = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 = 3 + 1 = 4$$

   Тогда:

   $$R = 2$$

   Теперь найдем $\alpha$. Для этого используем выражения для косинуса и синуса:

   $$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \sin(\alpha) = -\frac{1}{2}$$

   Эти значения соответствуют углу $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ (потому что $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$).

5. Подставим в исходное уравнение:
   Теперь наше уравнение можно записать как:

   $$2 \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 2$$

6. Решим уравнение:
   Разделим обе части на 2:

   $$\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 1$$

   Это уравнение решается при:

   $$2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   Решаем для $x$:

   $$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$

   Тогда:

   $$x = \frac{\pi}{3} + k\pi$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.