Маша и Настя вымоют окна за 20 минут. Настя и Лена вымоют это же окно за 15 минут, а Лена и Маша — за 12 минут. За какое время девочки вымоют окна, работая вместе?

Для того чтобы решить задачу, давайте введем переменные для времени, которое каждая девочка тратит на мытье окна в одиночку:

• Пусть $t_1$ — это время, за которое Маша вымоет окно, работая одна.

• Пусть $t_2$ — это время, за которое Настя вымоет окно, работая одна.

• Пусть $t_3$ — это время, за которое Лена вымоет окно, работая одна.

Согласно условию задачи, Маша и Настя вместе моют окно за 20 минут. То есть их совместная работа по времени будет равна $\frac{1}{20}$ окна в минуту. Мы можем записать это уравнение:

Аналогично, Настя и Лена моют окно за 15 минут, поэтому:

И, наконец, Лена и Маша моют окно за 12 минут, так что:

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{20}$

2. $\frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3} = \frac{1}{15}$

3. $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_3} = \frac{1}{12}$

Для того чтобы найти, за какое время девочки вымоют окно, работая вместе, нужно найти сумму $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3}$.

Для этого сложим все три уравнения:

Упрощаем левую часть:

Теперь вычислим правую часть: