Решите не равенство. x(в квадрате)-7x+10 больше или равно 0

Для решения неравенства $x^2 - 7x + 10 \geq 0$ давайте разберемся поэтапно.

1. Нахождение корней квадратного уравнения:

   Чтобы решить неравенство, начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. Для этого воспользуемся дискриминантом:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Где $a = 1$, $b = -7$, $c = 10$. Подставляем значения в формулу:

   $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два различных корня, которые можно найти по формуле:

   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

   Таким образом, корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$ — это $x_1 = 5$ и $x_2 = 2$.

2. Анализ знаков выражения $x^2 - 7x + 10$:

   Теперь, чтобы решить неравенство $x^2 - 7x + 10 \geq 0$, нам нужно определить, при каких значениях $x$ выражение $x^2 - 7x + 10$ больше либо равно нулю.

   Для этого рассмотрим промежутки, на которых может изменяться знак выражения $x^2 - 7x + 10$, используя найденные корни $x_1 = 5$ и $x_2 = 2$. Мы получаем следующие промежутки:

   • $(-\infty, 2)$

   • $(2, 5)$

   • $(5, +\infty)$

   Проверим знак выражения на этих промежутках:

   • Для $x \in (-\infty, 2)$, например, возьмем $x = 0$: $0^2 - 7(0) + 10 = 10 > 0$.

   • Для $x \in (2, 5)$, например, возьмем $x = 3$: $3^2 - 7(3) + 10 = 9 - 21 + 10 = -2 < 0$.

   • Для $x \in (5, +\infty)$, например, возьмем $x = 6$: $6^2 - 7(6) + 10 = 36 - 42 + 10 = 4 > 0$.

   Таким образом, выражение $x^2 - 7x + 10$ будет положительным или равным нулю на промежутках $(-∞, 2]$ и $[5, +∞)$