Есть 6 монет, из которых две фальшивые, весящие меньше настоящих. За три взвешивания на чашечных весах определите обе фальшивые монеты (фальшивые весят одинаково).

Да, определить обе фальшивые монеты за 3 взвешивания можно.

Обозначим монеты так: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Нужно построить такую схему, чтобы по результатам трёх взвешиваний однозначно установить обе лёгкие монеты.

Идея

Поскольку фальшивых монет ровно две, удобно сначала разбить 6 монет на три пары:

• (1, 2)

• (3, 4)

• (5, 6)

Дальше будем взвешивать пары друг против друга.

Первое взвешивание

Сравним:

(1, 2) и (3, 4)

Случай 1: пары равны

Это значит, что в парах (1, 2) и (3, 4) число фальшивых одинаково.

Так как всего фальшивых две, возможны только два варианта:

• либо обе фальшивые в паре (5, 6),

• либо по одной фальшивой в каждой из пар (1, 2) и (3, 4).

Теперь делаем второе взвешивание:

1 и 2

Если 1 = 2

Значит, в паре (1, 2) нет фальшивых или обе фальшивые. Но обе там быть не могут, иначе пара (1, 2) была бы легче пары (3, 4), а у нас они равны. Значит, в (1, 2) обе настоящие.

Тогда и (3, 4) обе настоящие, а обе фальшивые — это:

5 и 6

Если 1 ≠ 2

Тогда более лёгкая из монет 1 и 2 — фальшивая.

Поскольку пары (1, 2) и (3, 4) в первом взвешивании были равны, в паре (3, 4) тоже ровно одна фальшивая.

Третье взвешивание:

3 и 4

Более лёгкая монета здесь тоже фальшивая.

Значит, обе фальшивые найдены:

• более лёгкая из (1, 2),

• более лёгкая из (3, 4).

Случай 2: одна из пар легче

Пусть, например,

(1, 2) легче, чем (3, 4)

Тогда среди монет 1, 2 фальшивых больше, чем среди 3, 4.

Поскольку фальшивых всего две, это возможно только в двух вариантах:

• в (1, 2) две фальшивые, а в (3, 4) ни одной;

• в (1, 2) одна фальшивая, в (3, 4) ни одной, и ещё одна фальшивая среди 5, 6.

То есть в паре (3, 4) точно нет фальшивых.

Теперь второе взвешивание:

1 и 2

Если 1 = 2

Раз они равны, и при этом пара (1, 2) легче пары настоящих монет (3, 4), значит обе монеты 1 и 2 фальшивые.

Ответ:

1 и 2

Если 1 ≠ 2

Тогда в паре (1, 2) ровно одна фальшивая — более лёгкая из них.

Обозначим её, например, как найденную.

Остаётся найти вторую фальшивую, и она должна быть среди 5 и 6.

Третье взвешивание:

5 и 6

Более лёгкая монета — фальшивая.

Итак, обе фальшивые:

• более лёгкая из (1, 2),

• более лёгкая из (5, 6).

Совершенно аналогично разбирается случай, когда в первом взвешивании

(3, 4) легче, чем (1, 2)

Тогда делаем второе взвешивание 3 и 4:

• если 3 = 4, то фальшивые — 3 и 4;

• если 3 ≠ 4, то более лёгкая из них фальшивая, а вторую ищем взвешиванием 5 и 6.

Краткая схема решения

1. Первое взвешивание:
   (1,2) — (3,4)

2. Если равно:

   • взвесить 1 — 2

   • если равны, то фальшивые 5 и 6;

   • если не равны, взвесить 3 — 4, и фальшивые — более лёгкие из этих двух сравнений.

3. Если (1,2) легче:

   • взвесить 1 — 2

   • если равны, то фальшивые 1 и 2;

   • если не равны, взвесить 5 — 6, и фальшивые — более лёгкая из (1,2) и более лёгкая из (5,6).

4. Если (3,4) легче:

   • аналогично предыдущему случаю.

Почему этого достаточно

У каждой пары взвешиваний получается однозначная развилка, и после третьего взвешивания никакой неопределённости уже не остаётся. Значит, задача действительно решается за 3 взвешивания.