Решите уравнение 1. tg t=-корень из 3 2.sin(п/2+t)= корень 3/2 3.(1-cos t)(ctg t+1)=0 4.2cos^2 t-1=0

Ответы на вопрос

Отвечает Раскова Лера.

Давайте разберём каждый из предложенных вариантов уравнений пошагово. Я буду подробно объяснять решение, как если бы я писал ответ на сайте Q&A.

Мы знаем, что $\tan t = -\sqrt{3}$ .

$\tan t = \sqrt{3}$ соответствует углу $\pi/3$ (или 60°).
Так как знак минус, нужно выбрать углы в тех квадрантах, где тангенс отрицателен: II и IV квадранты.

Общее решение:

t = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

или

t = \frac{2\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Сначала упростим:

\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}

Используем формулу: $\sin(\frac{\pi}{2} + t) = \cos t$ .

Тогда:

2 \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos t = \frac{\sqrt{3}}{4}

Это значение не является стандартным углом, поэтому оставляем как:

t = \pm \arccos\frac{\sqrt{3}}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Уравнение произведения равно нулю, значит, решаем каждое слагаемое отдельно.

$1 - \cos t = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos t = 1 \quad \Rightarrow \quad t = 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$
$\cot t + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \cot t = -1 \quad \Rightarrow \quad \tan t = -1$
- $\tan t = -1$ соответствует углам $t = -\pi/4 + k\pi, \, k \in \mathbb{Z}$

Итак, общее решение:

t = 2\pi k \quad \text{или} \quad t = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{З}

Упростим:

2 \cos^2 t - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 t = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos t = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

Стандартные углы:

t = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad \text{и} \quad t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Или короче:

t = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Ответы на вопрос