В треугольнике АВС АС=ВС=6, высота АН=3. Найти градусную меру угла С.

Давай разберёмся шаг за шагом.

У нас есть треугольник АВС, где $AC = BC = 6$. Значит, это равнобедренный треугольник с основанием $AB$. Высота $AH = 3$ опущена из вершины $A$ на основание $BC$.

1. Определим положение высоты:
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины, лежащей напротив основания, также является медианой и биссектрисой. То есть точка $H$ — середина стороны $BC$.

   Тогда $BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

2. Используем прямоугольный треугольник:
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ с прямым углом в $H$. В нём:

   • $AH = 3$ (высота),

   • $HC = 3$ (половина основания),

   • $AC = 6$ (равнобедренная сторона).

   Проверим: $AC^2 = AH^2 + HC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$.
   А $AC = 6$ ⇒ $AC^2 = 36$.

   Всё верно, значит, точка $H$ не середина? Давай уточним.

3. Найдём половину основания через теорему Пифагора:
   Пусть $x = \frac{AB}{2}$. Тогда в прямоугольном треугольнике $AHB$:

   $$AH^2 + x^2 = AC^2 \quad\Rightarrow\quad 3^2 + x^2 = 6^2$$ $$9 + x^2 = 36 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 27 \quad\Rightarrow\quad x = 3\sqrt{3}$$

   Значит, $AB = 2x = 6\sqrt{3}$.

4. Найдём угол C:
   Для равнобедренного треугольника $AC = BC = 6$, основание $AB = 6\sqrt{3}$.

   Используем косинус угла C через теорему косинусов:

   $$\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{6^2 + 6^2 - (6\sqrt{3})^2}{2 \cdot 6 \cdot 6}$$ $$\cos C = \frac{36 + 36 - 108}{72} = \frac{-36}{72} = -\frac{1}{2}$$

   Значит:

   $$C = 120^\circ$$

✅ Ответ: