При каких значениях параметра "a" система уравнений имеет ровно 4 различных решения? 2x² + y² = 7

Ответы на вопрос

Отвечает Аксеневич Влада.

Рассмотрим систему

\begin{cases} 2x^2+y^2=7,\\ (y-3x^2)(y-a)=0. \end{cases}

Нужно найти такие значения параметра $a$ , при которых система имеет ровно 4 различных решения.

Так как

(y-3x^2)(y-a)=0,

то обязательно выполняется хотя бы одно из двух условий:

Значит, решения системы — это точки пересечения кривой

2x^2+y^2=7

либо с параболой $y=3x^2$ , либо с прямой $y=a$ .

Подставим $y=3x^2$ в первое уравнение:

2x^2+(3x^2)^2=7.

Получаем:

2x^2+9x^4=7.

Обозначим $t=x^2$ , тогда $t\ge 0$ , и имеем:

9t^2+2t-7=0.

Решим квадратное уравнение:

D=2^2-4\cdot 9\cdot (-7)=4+252=256,

t=\frac{-2\pm 16}{18}.

Отсюда:

t_1=\frac{14}{18}=\frac79,\qquad t_2=\frac{-18}{18}=-1.

Так как $t=x^2\ge 0$ , подходит только

x^2=\frac79.

Тогда

x=\pm \frac{\sqrt7}{3}, \qquad y=3x^2=3\cdot \frac79=\frac73.

Получаем 2 решения:

\left(\frac{\sqrt7}{3},\frac73\right),\qquad \left(-\frac{\sqrt7}{3},\frac73\right).

Итак, ветвь $y=3x^2$ всегда дает ровно 2 различных решения.

Подставим $y=a$ в уравнение

2x^2+y^2=7:

2x^2+a^2=7.

Отсюда

x^2=\frac{7-a^2}{2}.

Теперь смотрим, сколько решений по $x$ :

При каких значениях параметра "a" система уравнений имеет ровно 4 различных решения? 2x² + y² = 7 (y - 3x²)(y - a) = 0