Решите уравнение 2х^4-9x^3+14x^2-9x+2=0

Для решения уравнения $2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2 = 0$ будем использовать несколько методов, чтобы найти все корни этого уравнения.

Шаг 1: Пробуем подставить возможные рациональные корни

Пытаемся найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях, которая гласит, что возможные рациональные корни — это делители свободного члена уравнения, делённые на делители старшего коэффициента.

У нас уравнение:

Свободный член — 2, а старший коэффициент — 2. Возможные делители 2: $\pm 1, \pm 2$. Таким образом, возможные рациональные корни уравнения: $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$.

Шаг 2: Пробуем подставлять в уравнение эти значения

Поставим $x = 1$ в исходное уравнение:

Получилось 0, значит, $x = 1$ — корень уравнения.

Шаг 3: Делим на $(x - 1)$

Так как $x = 1$ является корнем, можно разделить исходное уравнение на $(x - 1)$ с помощью деления многочленов.

Делим $2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2$ на $x - 1$ с помощью синтетического деления или обычного деления многочленов.

После деления получаем:

Шаг 4: Решаем уравнение $2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 = 0$

Теперь решаем кубическое уравнение $2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 = 0$. Попробуем снова найти возможные рациональные корни для этого уравнения. Они будут делителями свободного члена (-2), делёнными на делители старшего коэффициента (2). Возможные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$.

Пробуем $x = 1$:

Получилось 0, значит, $x = 1$ — ещё один корень.

Шаг 5: Делим на $(x - 1)$ снова

Теперь делим $2x^3 - 7x^2 + 7x - 2$ на $x - 1$. Деление даёт:

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$:

Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня:

Получаем два корня: