В остроугольном треугольнике АВС точки А, С, центр описанной окружности О и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол АВС равен 60º.

Разберу это через углы, которые опираются на один и тот же отрезок $AC$: условие окружности даст связь между $\angle AOC$ и $\angle AIC$.

Обозначим

Нужно доказать, что $\beta=60^\circ$.

Так как треугольник $ABC$ остроугольный, его центр описанной окружности $O$ лежит внутри треугольника. Центр вписанной окружности $I$ тоже всегда лежит внутри треугольника. Значит, точки $O$ и $I$ лежат по одну сторону от прямой $AC$, а именно по ту же сторону, что и вершина $B$.

По условию точки $A,C,O,I$ лежат на одной окружности. Рассмотрим в этой окружности хорду $AC$. Точки $O$ и $I$ лежат по одну сторону от прямой $AC$, следовательно, они лежат на одной дуге этой окружности относительно хорды $AC$. Поэтому углы, опирающиеся на хорду $AC$, равны:

Теперь вычислим оба угла.

Во-первых, $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, поэтому $\angle AOC$ — центральный угол, опирающийся на ту же дугу $AC$, что и вписанный угол $\angle ABC$. Значит,

Во-вторых, $I$ — центр вписанной окружности, значит, $AI$ и $CI$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$. В треугольнике $AIC$ имеем:

Тогда

Но

Следовательно,

Итак,

Подставляем найденные выражения:

Умножим на $2$:

Отсюда

значит,

Следовательно,

Что и требовалось доказать.