Вектор ОМ=r составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы и построить вектор r, если его длина равна 2 корня из 3

Чтобы найти углы, которые составляет вектор $\vec{OM} = \vec{r}$ с осями координат, начнем с условий задачи:

1. Длина вектора $r$: Длина $r$ равна $2\sqrt{3}$.
2. Углы: Вектор составляет равные острые углы с осями координат.

Пусть вектор $\vec{r} = (x, y, z)$. Чтобы угол между вектором $\vec{r}$ и каждой осью был одинаков, вектор должен быть одинаково направлен относительно всех осей, т.е., его компоненты $x$, $y$, и $z$ должны быть равными.

Обозначим каждую компоненту вектора как $x = y = z$. Тогда длина вектора $r$ записывается как:

Подставляем равенство компонент:

Зная, что длина вектора равна $2\sqrt{3}$, приравняем это значение к выражению для длины:

Разделим обе стороны на $\sqrt{3}$:

Таким образом, компоненты вектора $\vec{r}$ равны $x = y = z = 2$. Вектор можно записать как:

Теперь определим угол $\alpha$, который вектор $\vec{r}$ составляет с каждой осью. Для этого воспользуемся формулой косинуса угла между вектором и осью. Косинус угла между вектором $\vec{r}$ и, например, осью $Ox$ определяется как отношение проекции вектора на ось к его длине:

Из этого следует, что угол $\alpha$ равен:

Таким образом, острые углы, которые вектор $\vec{r}$ составляет с каждой из осей, равны примерно $54{,}74^\circ$.

Ответ: Углы, которые вектор $\vec{OM} = (2, 2, 2)$ составляет с осями координат, равны примерно $54{,}74^\circ$.