Для каждой команды-участницы математического турнира было подготовлено 20 задач. За каждую верно решённую задачу команде добавлялось 8 баллов, за каждую неверно решённую — вычиталось 5 баллов, за задачу, которую команда не взялась решать, не начислялось нисколько баллов. В результате команда «Почемучки» набрала 13 баллов. За решение скольких задач взялась эта команда?

Давай разберём задачу шаг за шагом, как если бы мы решали её вместе.

Дано:

• Всего задач: 20

• Правильное решение: +8 баллов

• Неправильное решение: −5 баллов

• Пропущенная задача: 0 баллов

• Итог: 13 баллов

Пусть:

• $x$ — количество задач, которые команда пыталась решить (т.е. взялась за решение).

• Из этих $x$ задач: $y$ — решены верно, $x - y$ — решены неверно.

Тогда общая формула для баллов будет:

Раскроем скобки:

Теперь нужно, чтобы $y$ было целым числом, и $y \le x \le 20$.

Проверим целые решения:

Проверим $x = 0,1,2,\dots,20$ на кратность 13:

• $x = 0: 5*0 + 13 = 13 \rightarrow y = 1$ ✅

• $x = 1: 5 + 13 = 18$ ❌

• $x = 2: 10 + 13 = 23$ ❌

• $x = 3: 15 + 13 = 28$ ❌

• $x = 4: 20 + 13 = 33 \rightarrow y = 33/13 = 2.538$ ❌

• $x = 5: 25 + 13 = 38$ ❌

• $x = 6: 30 + 13 = 43$ ❌

• $x = 7: 35 + 13 = 48$ ❌

• $x = 8: 40 + 13 = 53$ ❌

• $x = 9: 45 + 13 = 58$ ❌

• $x = 10: 50 + 13 = 63 \rightarrow y = 63/13 = 4.846$ ❌

• $x = 11: 55 + 13 = 68$ ❌

• $x = 12: 60 + 13 = 73$ ❌

• $x = 13: 65 + 13 = 78 \rightarrow y = 6$ ✅

• $x = 14: 70 + 13 = 83$ ❌

• $x = 15: 75 + 13 = 88$ ❌

• $x = 16: 80 + 13 = 93$ ❌

• $x = 17: 85 + 13 = 98$ ❌

• $x = 18: 90 + 13 = 103$ ❌

• $x = 19: 95 + 13 = 108$ ❌

• $x = 20: 100 + 13 = 113$ ❌

Получаем два целых решения:

1. $x = 0 \implies y = 1$ — невозможно, нельзя решить 1 задачу, не взявшись за задачи.

2. $x = 13 \implies y = 6$ — это корректное решение.

Вывод: команда «Почемучки» взялась за 13 задач (из которых 6 решили правильно и 7 неправильно).

Ответ: