Марку на марафоне предложили 20 задач. За верно решённую задачу ставят 8 баллов, за неверно решённую-минус 5 баллов ,за задачу которую не решал - 0 . Марк в сумме набрал 13 баллов. Сколько задач он пытался решить?

Давайте решим задачу пошагово.

Итак, у нас есть:

• 20 задач на марафоне.
• За правильно решённую задачу дают 8 баллов.
• За неправильно решённую задачу ставят -5 баллов.
• За задачу, которую не решали, ставят 0 баллов.
• В сумме Марк набрал 13 баллов.

Предположим, что Марк пытался решить $x$ задач. Это означает, что он оставил $20 - x$ задач нерешёнными.

Теперь рассмотрим возможные варианты:

• Пусть $a$ — количество верно решённых задач.
• Пусть $b$ — количество неверно решённых задач. Тогда $a + b = x$, потому что Марк пытался решить $x$ задач, и это количество делится между верными и неверными решениями.

Баллы, которые он получил, складываются из:

• $8a$ баллов за верно решённые задачи.
• $-5b$ баллов за неверно решённые задачи.

Общее количество баллов: $8a - 5b = 13$.

У нас есть система из двух уравнений:

1. $a + b = x$
2. $8a - 5b = 13$

Решим эту систему.

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$: $b = x - a$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение: $8a - 5(x - a) = 13$.

Раскроем скобки: $8a - 5x + 5a = 13$.

Соберём все $a$ в одну сторону: $13a - 5x = 13$.

Теперь выразим $a$: $a = \frac{5x + 13}{13}$.

Поскольку $a$ — это целое число, то $5x + 13$ должно быть кратно 13. Посмотрим, при каких значениях $x$ это выполняется.

Решим $5x + 13 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 13)$, что эквивалентно $5x \equiv 0 \ (\text{mod} \ 13)$. Поскольку 5 и 13 взаимно просты, $x$ должно быть кратно 13.

Пусть $x = 13$. Подставим это значение в уравнение для $a$: $a = \frac{5(13) + 13}{13} = \frac{65 + 13}{13} = \frac{78}{13} = 6$.

Итак, если Марк пытался решить 13 задач, то он верно решил 6 из них.

Проверим, что это решение подходит. Если $x = 13$, то $b = 13 - 6 = 7$. Баллы за верно решённые задачи: $8 \times 6 = 48$. Баллы за неверно решённые задачи: $-5 \times 7 = -35$. Сумма баллов: $48 - 35 = 13$, что совпадает с данным в задаче.

Ответ: Марк пытался решить 13 задач.