Найти 2 прямых: L1: y = 5x - 2 и L2: 4x + 5y + 4 = 0. Найти: а) точку пересечения прямых; б) угол

Ответы на вопрос

Отвечает Самбук Влад.

Даны две прямые:

L_1: y = 5x - 2

L_2: 4x + 5y + 4 = 0

Нужно найти:

а) точку пересечения прямых;

б) угол между прямыми.

а) Точка пересечения прямых

Точка пересечения принадлежит обеим прямым одновременно. Поэтому подставим выражение для $y$ из первой прямой во второе уравнение.

Из первой прямой:

y = 5x - 2

Подставляем во вторую:

4x + 5y + 4 = 0

4x + 5(5x - 2) + 4 = 0

Раскрываем скобки:

4x + 25x - 10 + 4 = 0

29x - 6 = 0

29x = 6

x = \frac{6}{29}

Теперь найдём $y$ , подставив $x = \frac{6}{29}$ в уравнение первой прямой:

y = 5x - 2

y = 5 \cdot \frac{6}{29} - 2

y = \frac{30}{29} - \frac{58}{29}

y = -\frac{28}{29}

Значит, точка пересечения:

\boxed{\left(\frac{6}{29}; -\frac{28}{29}\right)}

Для нахождения угла между прямыми удобно использовать угловые коэффициенты.

Первая прямая уже записана в виде:

y = kx + b

Поэтому её угловой коэффициент:

k_1 = 5

Теперь выразим вторую прямую через $y$ :

4x + 5y + 4 = 0

5y = -4x - 4

y = -\frac{4}{5}x - \frac{4}{5}

Значит, угловой коэффициент второй прямой:

k_2 = -\frac{4}{5}

Формула тангенса угла между двумя прямыми:

\tan \varphi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}\right|

Подставляем значения:

\tan \varphi = \left| \frac{-\frac{4}{5} - 5}{1 + 5 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)} \right|

Считаем числитель:

-\frac{4}{5} - 5 = -\frac{4}{5} - \frac{25}{5} = -\frac{29}{5}

Считаем знаменатель:

1 + 5 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = 1 - 4 = -3

Тогда:

\tan \varphi = \left| \frac{-\frac{29}{5}}{-3} \right|

Топ вопросов за вчера в категории Математика