В окружность вписан четырехугольник, две стороны которого равны 8 и 15, угол между ними 60°. Найдите сумму двух других сторон четырехугольника, если их разность равна 1.

Обозначим четырёхугольник \(ABCD\), вписанный в окружность. Пусть \(AB = 8\), \(BC = 15\), угол \(\angle ABC = 60^\circ\). Две другие стороны — \(CD\) и \(DA\), их разность равна 1, нужно найти сумму.

Сначала найдём диагональ \(AC\) по теореме косинусов в треугольнике \(ABC\):

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^\circ = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 64 + 225 - 120 = 169 \]

Значит, \(AC = 13\).

Так как четырёхугольник вписанный, сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Поэтому \(\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

В треугольнике \(ADC\) применим теорему косинусов:

\[ AC^2 = CD^2 + DA^2 - 2 \cdot CD \cdot DA \cdot \cos 120^\circ \]

\(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), тогда

\[ 13^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = x^2 + y^2 + xy \] \[ x^2 + y^2 + xy = 169 \]

По условию разность сторон равна 1: пусть \(x - y = 1\) (если \(x > y\)). Тогда \(x = y + 1\). Подставим:

\[ (y+1)^2 + y^2 + (y+1)y = 169 \] \[ y^2 + 2y + 1 + y^2 + y^2 + y = 169 \] \[ 3y^2 + 3y + 1 = 169 \] \[ 3y^2 + 3y - 168 = 0 \] \[ y^2 + y - 56 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение: \(D = 1 + 224 = 225\), \(\sqrt{D} = 15\).

\[ y = \frac{-1 + 15}{2} = 7 \quad (\text{отрицательный корень не подходит}) \]

Тогда \(x = 7 + 1 = 8\).

Сумма двух других сторон: \(x + y = 8 + 7 = 15\).

Ответ: 15.

Отправить ответ