Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке K. Найдите длину медианы AM, если CK = 10, BN = 9.

Медианы пересекаются в точке \(K\) — центроиде, который делит каждую медиану в отношении \(2:1\) от вершины. \(CK = 10\) — это расстояние от вершины \(C\) до центроида, значит, вся медиана из \(C\) равна \(1{,}5 \cdot 10 = 15\).

Медиана \(BN = 9\), тогда \(BK = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\), \(KN = 3\).

Пусть \(AM = x\). Тогда \(AK = \frac{2}{3}x\), \(KM = \frac{1}{3}x\).

Поместим центроид в начало координат. Векторы вершин: \(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{0}\). Медиана \(AM\) направлена как \(-\frac{3}{2}\vec{A}\), медиана \(BN\) — как \(-\frac{3}{2}\vec{B}\). Их перпендикулярность даёт \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\).

Длина \(|\vec{C}| = CK = 10\), \(|\vec{B}| = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\). Из \(\vec{C} = -(\vec{A} + \vec{B})\) и перпендикулярности \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\):

\[|\vec{C}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2\]

\[10^2 = |\vec{A}|^2 + 6^2 \Rightarrow |\vec{A}|^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow |\vec{A}| = 8\]

Тогда \(AM = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12\).

Ответ: 12.

0 0 Пожаловаться