Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y^2=4*x-x^2, y^2=2*x(вне параболы) . ВСЕ ПОДРОБНО пожалуйста. Даю 98 баллов

Найдём точки пересечения: \(y^2=4x-x^2\) и \(y^2=2x\). Приравняем: \(2x=4x-x^2\) → \(x^2-2x=0\) → \(x=0\), \(x=2\). При \(x=0\) \(y=0\); при \(x=2\) \(y=\pm2\).

Первое уравнение — окружность \((x-2)^2+y^2=4\) с центром \((2,0)\) и радиусом 2. Второе — парабола \(y^2=2x\). Фигура, ограниченная этими линиями «вне параболы», — часть круга, лежащая вне параболы. В верхней полуплоскости при \(0\le x\le 2\) окружность выше параболы. Поэтому искомая площадь \(S = 2\int_0^2 (\sqrt{4x-x^2} - \sqrt{2x})\,dx\).

Вычислим интегралы:

\(\int_0^2 \sqrt{4x-x^2}\,dx = \int_0^2 \sqrt{4-(x-2)^2}\,dx\). Это площадь четверти круга радиуса 2, равная \(\pi\).

\(\int_0^2 \sqrt{2x}\,dx = \sqrt{2}\int_0^2 x^{1/2}\,dx = \sqrt{2}\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_0^2 = \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 2^{3/2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 2\sqrt{2} = \frac{8}{3}\).

Тогда \(S = 2(\pi - \frac{8}{3}) = 2\pi - \frac{16}{3}\).

Ответ: \(2\pi - \frac{16}{3}\) квадратных единиц.

0 0 Пожаловаться