Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°. Найдите меньшую сторону прямоугольника, если его диагональ равна 12 см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, причем $a$ — меньшая сторона. Диагональ прямоугольника равна 12 см.

Рассмотрим диагонали прямоугольника. Они равны и при пересечении делятся пополам. Угол между диагоналями равен $60^{\circ }$.

Обозначим половину диагонали через $6$ см. Тогда точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника. Половины сторон образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см.

Пусть половины сторон равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$. Тогда:

Угол между диагоналями можно связать со сторонами через косинус:

Так как $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, получаем:

Умножаем:

Значит, большая сторона в $\sqrt{3}$ раз больше меньшей.

Диагональ прямоугольника:

Подставляем $b^2=3a^2$:

Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна: