У=-х²-2x+5, y=x+5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Даны две линии:

и

Нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками.

Сначала найдём точки пересечения линий. Для этого приравняем правые части:

Перенесём всё в одну сторону:

Вынесем $-x$ за скобки:

Отсюда:

или

Значит, графики пересекаются при $x=-3$ и $x=0$.

Теперь определим, какая функция находится выше на этом промежутке. Возьмём, например, $x=-1$.

Для параболы:

Для прямой:

Значит, на промежутке от $-3$ до $0$ парабола находится выше прямой.

Площадь фигуры равна интегралу разности верхней и нижней функций:

Упростим выражение под интегралом:

Тогда:

Найдём первообразную:

Подставим пределы интегрирования:

При $x=0$:

При $x=-3$:

Теперь: