Используя формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение, упростите выражение cos2a – cos6a и найдите его значение, если cos a = 1/√3.

Используем формулу:

\[\cos x - \cos y = -2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}\]

Тогда:

\[\cos 2a - \cos 6a = -2\sin 4a\sin(-2a)=2\sin 4a\sin 2a\]

Теперь найдём значение через \( \cos a = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

\[\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 2\cdot \frac{1}{3}-1=-\frac{1}{3}\]

\[\cos 6a = 32\cos^6 a - 48\cos^4 a + 18\cos^2 a - 1 = \frac{23}{27}\]

Значит:

\[\cos 2a - \cos 6a = -\frac{1}{3}-\frac{23}{27}=-\frac{32}{27}\]

Ответ: \(2\sin 4a\sin 2a\), значение равно \(-\frac{32}{27}\).

0 0 Пожаловаться