Пересекаются ли прямая y = 5x - 2 и парабола y = x² + 4? Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Чтобы найти точки пересечения прямой и параболы, нужно приравнять их уравнения, так как в точках пересечения значения $y$ будут одинаковыми:

Перенесем все в одну сторону:

Решим квадратное уравнение. Разложим на множители:

Отсюда:

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле прямой $y=5x-2$.

При $x=2$:

Получаем первую точку:

При $x=3$:

Получаем вторую точку:

Проверка по параболе:

• при $x=2$: $y=2^2+4=4+4=8$;

• при $x=3$: $y=3^2+4=9+4=13$.

Значения совпадают, значит прямая и парабола действительно пересекаются.

Ответ: точки пересечения существуют, их координаты — $(2;8)$ и $(3;13)$.