Найдите горизонтальную и вертикальную асимптоты функций и постройте схематический график: f(x) = (x+4)/(x-2) и f(x) = (x-9)/(x+1).

Разберём обе функции. Вертикальная асимптота получается там, где знаменатель равен нулю. Горизонтальная асимптота у дроби первой степени на первую находится по отношению старших коэффициентов.

1) \( f(x)=\frac{x+4}{x-2} \)

Знаменатель равен нулю:

\[ x-2=0 \]

\[ x=2 \]

Значит, вертикальная асимптота: \( x=2 \).

Степени числителя и знаменателя одинаковые, старшие коэффициенты равны \(1\) и \(1\), поэтому горизонтальная асимптота:

\[ y=\frac{1}{1}=1 \]

Ответ: вертикальная асимптота \( x=2 \), горизонтальная асимптота \( y=1 \).

Для схемы удобно записать так:

\[ \frac{x+4}{x-2}=1+\frac{6}{x-2} \]

График — гипербола с центром в точке пересечения асимптот \( (2;1) \). Ветви расположены справа выше точки \( (2;1) \) и слева ниже неё.

2) \( f(x)=\frac{x-9}{x+1} \)

Знаменатель равен нулю:

\[ x+1=0 \]

\[ x=-1 \]

Значит, вертикальная асимптота: \( x=-1 \).

Старшие коэффициенты снова равны \(1\) и \(1\), поэтому горизонтальная асимптота:

\[ y=1 \]

Ответ: вертикальная асимптота \( x=-1 \), горизонтальная асимптота \( y=1 \).

Перепишем функцию:

\[ \frac{x-9}{x+1}=1-\frac{10}{x+1} \]

График — гипербола с центром в точке \( (-1;1) \). Ветви расположены слева выше точки \( (-1;1) \) и справа ниже неё.

0 0 Пожаловаться